25학년도 9월 모의평가

생각보다 시간을 많이 소모하는 분들이 있는 것 같더라구요.

웬만한 지각능력을 가지고 있지 않는 이상 공간 문제는 항상 "단면" 단위로 분할하는 것을 추천드립니다.

우선 C1과 C2의 자취를 평면상에 나타내면 아래와 같이 표현이 가능합니다.

(편의상 C1과 C2의 중심을 각각 C1', C2'이라고 하겠습니다.)

이 정도면 충분합니다.

부탁드리는 건데 제발좀 원판 자취 표현할 때 불필요하게 동그라미 그리는 것을 매우 비추천합니다.

문제푸는 데에 도움이 되지 않을 뿐더러 되려 시험지만 지저분해질 뿐인 소모행위인 것 같습니다.

(문제를 풀다가 곡선개형이 필요할 것 같으면 그제서야 그려도 늦지 않습니다.)

이때, C1과 C2가 만나면서 교선이 생김을 알 수 있고 해당 교선이 선분N1N2임을 알 수 있습니다.

이를 정리하여 점 O, C1', C2', N1, N2 간의 위치관계를 표현하면 아래와 같습니다.

(이때, M은 선분N1N2의 중점입니다.)

항상 문제에 주어진 정보와 관련된 요소간의 위치관계만 간결하게 표현하는 것이 매우 중요합니다.

(여기서도 마찬가지로 원판 2개 수직으로 끼워놓은 그림을 그리는 행위는 시간만 낭비하는 불필요한 행위에 불가합니다.)

삼수선의 정리에 따라 각(OMN1) 역시 직각임을 알 수 있기 때문에

선분OM은 선분 N1N2의 수직이등분선임을 알 수 있습니다.

이때, 각(N1OM) = x라 하면, 각(N1ON2) = 2x임을 알 수 있습니다.

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 3/5 이므로 cosx = 2/sqrt(5) 임을 알 수 있습니다.

이를 통해 (선분OM) = 2 * (선분 N1M)임을 알 수 있고 아래와 같은 식이 성립하게 됩니다.

sqrt(50 + (10000/a^2)) = 2 * sqrt(50 - (10000/a^2)) 

이를 정리하면, a = sqrt(1000) / sqrt(3) 이 나오게 됩니다.

문제에서 좌표가 주어져도 수식적인 풀이로만 접근하려는 방법은 상당히 위험합니다.

좌표는 상대적 위치를 나타내는 지표에 불과하기 때문에 앞의 문제와 마찬가지로 대략적 위치관계만 일단 파악하면 아래와 같습니다.

(길이 비율이 엉망인 점 죄송합니다. ㅠㅠ)

이때, 선분(OP)의 중점을 X, 선분(QE)의 중점을 Y라고 하면 아래와 같은 식이 성립합니다.

|PQ + OE|^2 = |2*XY|^2 = 4*|XY|^2

(놀라실 거 없습니다. 벡터 연산에서 평행사변형법을 확장시킨 것에 불과합니다.)

즉, 우리는 벡터 XY의 크기의 최댓값과 최솟값만 구하면 문제는 다 푼 것이라고 볼수 있습니다.

X와 Y를 알기 위해서는 이들의 자취를 나타낼 필요가 있는데 아래와 같습니다.

파란색으로 표현한 것이 X, 빨간색으로 표현한 것이 Y입니다.

방금 전에도 강조하였지만 대략적인 위치관계만 파악하면 됩니다.

점 좌표 대입해가면서 어렵게 생각할 필요가 없는 것이 이들은 모두 주어진 정점에 주어진 직각이등변삼각형 자취를 결합하는 형태이기 때문에, 기존의 직각이등변삼각형 자취와 동일하며 주어진 정점의 경우, 평행이동한 것이라고 해석하면 간단합니다.

 

이때, 점O가 공통이므로 X와 Y의 위치관계를 한 그림에 나타내면 아래와 같습니다.

위와 같은 그림처럼 비율에 제대로 맞춰서 제대로 표현하기만 하면 위치관계와 최대최소 파악하기가 용이합니다.

선분(XY)의 최솟값의 경우, 파란색 선일 때이며, 최댓값은 빨간색 선일 때입니다.

최솟값은 점과 직선사이의 거리공식 이런거 쓰시지 말고 그냥 1:1:sqrt(2) 비율이니까 바로 쉽게 계산이 가능합니다.

 

사실 엄밀하게 풀기 위해서는 각 자취에서 점들의 위치관계에 따라 케이스 분류해가며 풀기는 해야하는데 방금 전에도 강조했지만 비율만 제대로 맞추면 위와 같은 최대/최소 정도는 직관적으로도 잘 보여서 크게 어렵지는 않습니다.

(솔직히 수능이 논술도 아니고 정답만 맞추면 되는 시험이기에 어느 정도 직관 수용은 필수인 것 같고 오히려 시험장 안에서의 상황에서는 더 현실적일 것 같습니다.)

이를 통해 선분(XY)의 최솟값은 1/sqrt(2)이고 최댓값은 sqrt(13)입니다.

m = 2, M = 52 이므로 M + m = 54가 됩니다.

 

이번 선택과목 기하의 특징의 경우 풀이의 방법에 따라 소모되는 시간 차이가 상당히 크기 때문에 풀이 선택에 따른 타임 매니지먼트 관련해서는 유불리가 어느정도 있을 것이라고 봅니다.

 

이번에 2문제를 풀어보긴 하였지만 결국 2문제 모두 공통적으로 요구하는 사항이자 문제 풀이의 핵심은 바로

주어진 정보를 이용하여 위치관계 파악!!

임을 기억해주셨으면 합니다.

 

이상입니다.