25학년도 6월 모의평가

시작을 어디서부터 하느냐에 따라 풀이를 원샷원킬 할 수도 있고 산으로 갈 수도 있습니다.

핵심은 가장 조건이 디테일한 녀석에서 시작하는 것이 중요합니다.

왼쪽부터 순서대로라고 생각한다면

첫번째 조건과 두번째 조건은 그저 P와 Q의 자취가 각각 중심이 O, B인 원이라는 것에 불과하기 때문에 매우 광범위합니다.

이런 점에서 이 두 조건에서 시작하게 되면 풀이가 돌아갈 가능성이 많으며 추후 구체적인 조건에 따라 조정하며 따져야 할 경우가 많을 수도 있습니다.

 

25학년도 9평 풀이때도 얘기했지만, 자취가 원과 같은 곡선 자취는 미리 그리고 앉아있는 것은 상당한 시간낭비이며 추후 필요할 때 그제서야 그려도 늦지 않는다는 점 강조 드립니다.

 

반면에 세번째 조건은 오히려 앞의 두 조건보다 훨씬 디테일합니다.

점A와 점P의 중점을 M이라고 하면 (AP)*(QA+QP) = 2(AP)*(QM) = 0 임을 알 수 있습니다.

이를 통해 점 Q의 자취는 아래와 같이 선분 AP의 수직이등분선 상에 있음을 알 수 있습니다.

 다음으로 주어진 조건은 |PQ|가 최소일 경우인데,

선분의 수직이등분의 성질에 의해 |AQ| = |PQ|가 성립합니다.

이런 점에서 두 점 모두 동점인 |PQ|를 해석할 필요 없이 |AQ|의 최솟값을 만족하는 Q를 찾으면 됩니다.

이렇게 문제에서 주어진 조건을 다른 방식으로 표현하는 것이 문제에서 가장 핵심적으로 물어보는 것 같습니다.

|AQ|의 최솟값이면 이미 다 푼거나 다름 없이 아래와 같은 조건일 때임이 자명합니다.

점 P 역시 Q를 지나며 A를 지나지 않는 접선의 접점임을 알 수 있습니다.

따라서 다음 조건에서 (AP)*(BQ)를 구하면 됩니다.

이를 정리하면 (AP)*(BQ) = (AP)*(B'O') = (4/sqrt(5))*(2/sqrt(5) + 1/sqrt(5)) = 12/5 입니다.

 

사실 얘같은 경우에는 그림도 사실상 필요 없이 식 정리만 하면 금방 풀립니다.

우선, 주어진 조건으로 보아서는 P가 1또는 4사분면 위의 범위에 있음을 알 수 있습니다.

 

주어진 식을 보았을때 항상 강조했지만 동점을 2개씩 들고 다니는 일은 번거로운 일이므로,

정점을 기준으로 통일, 그리고 그 점이라면 우리가 쉽게 접근 가능한 정점, 여기서는 초점에 해당하겠습니다.

 

주어진 식의 우변을 F와 F'중 F'을 시점으로 통일해야 다루는 벡터 변수가 최소화가 됩니다.

이를 정리하면 (|FP| + 1)(F'Q) = 5QP = 5F'P - 5F'Q 입니다.

이는 다시 (|FP| + 6)(F'Q) = 5F'P로 정리가 가능합니다.

 

쌍곡선의 정의에 의해 |FP|+6  = |F'P|이므로,

F'Q = (5/|F'P|)F'P = 5(F'P/|F'P|)임을 알 수 있습니다.

 

따라서, F'Q는 F'P와 방향이 동일하며 크기가 5임을 알 수 있습니다.

여기서 F'Q의 경계는 쌍곡선의 점근선의 기울기인 4/3에 해당하겠습니다.

 

|AQ| = |AF' + F'Q|로 해석이 가능한데

직선 AF'의 기울기의 경우 3/4으로 점근선의 기울기인 4/3보다 작으므로,

AF'와 F'Q가 서로 나란한 조건은 범위에 포함이 됩니다.

 

이를 통해 |AQ|의 최댓값은 AF'와 F'Q가 서로 나란한 조건으로,

Max(|AQ|) = |AF'| + |F'Q| = 5 + 5 = 10임을 알 수 있습니다.

 

이번 6평 선택과목 기하의 경우, 공통적으로 그럴싸하게 포장해놓은 조건들을 어떻게 정리하는가에 따라,

순식간에 기초 수준의 문제로 둔갑하기도, 잘못 접근하면 산으로 가도록 설계해놓은 것 같아 접근 방향에 따라 체감 난이도의 유불리가 발생함이 분명한 것 같습니다.

 

이번에 2문제를 풀어보긴 하였는데, 둘 다 공통적으로 요구하는 문제풀이의 핵심은

 

1. 2개의 동점이 묶여있을 경우 정점을 이용하여 분해

2. 문제에서 주어진 조건을 다른 방식으로 표현 (★★★)

임을 기억해주셨으면 합니다.

 

이상입니다.